Les Choses Irritantes

Quand un grain de sable se retrouve dans une palourde, (une huître), ou autre mollusque, il devient un irritant. Le mollusque réagit à ce grain irritant en le couvrant de nacre, la même substance que sa coquille. Après avoir ajouté des couches de nacre à plusieurs reprises, les mollusques ont produit une perle. Les perles se distinguent par leur forme, leur grandeur et leur couleur.

Un jour, un groupe de 10 pêcheurs de perles ont chacun trouvé 10 perles. Ils les ont numérotées d’après leur couleur.

Chose étonnante, il y avait exactement 10 perles de chaque couleur.

Par pure coïncidence, le même jour, un mathématicien se promenait de A à B, s’est égaré et est arrivé par hasard au village des pêcheurs de perles et leurs 100 nouvelles perles. Il s’est exclamé: <<Ces perles sont superbes; on devrait en faire un très beau bracelet.>>

<<On les appréciait telles quelles, >> dit l’un des pêcheurs de perles à la voix douce.

<<Voyons donc, les perles sont faites pour être enfilées !>> dit le mathématicien en s’assoyant à la table. <<Laissez-moi vous montrer comment.>>

1. Prenez une première et une deuxième perles. Elles peuvent avoir le même nombre ou pas.
2. Pour choisir la troisième perle, additionnez les nombres de la première et de la deuxième perles. Si la somme est plus que 9, utilisez le dernier chiffre de la somme (unités).
3. Pour choisir la prochaine perle, additionnez les nombres des deux dernières perles et utilisez seulement le dernier chiffre de la somme (unités).
4. Continuez jusqu’à temps que vous revenez à la première et à la deuxième perles.
5. Enfilez-les pour faire un bracelet! (N’utilisez pas les deux dernières perles puisqu’elles répètent les deux premières perles)

Les pêcheurs de perles se sont regardés, et silencieusement sont restés perplexes à cet homme étrange.

<<Je pense que vous avez besoin d’un exemple, >> dit le mathématicien.

• Par exemple, si je choisis 2 et 6 pour les première et deuxième perles:

• La troisième perle serait donc 2 + 6 = 8

• Pour la quatrième perle, additionne 6 et 8 et utilise seulement le chiffre des unités: 6 + 8 = 14; utilise 4

• 8 + 4 = 12; utilise 2

• 4 + 2 = 6

• Les deux dernières perles sont les mêmes que les deux premières, donc enlevez-les. Faites un bracelet en enfilant les perles qui restent dans une boucle dans le sens des aiguilles d’une montre.

<<Voici la façon de faire un bracelet de perles! >> dit le mathématicien d’un air triomphant.

Les pêcheurs de perles n’étaient pas trop sûrs qu’ils aimaient ce mathématicien. Après tout, combien de plongeons avait-il fait pour trouver des perles? Combien de fois s’était-il coupé les mains sur les coraux bien tranchants? Combien de fois avait-il retenu son souffle jusqu’à ce que ça fasse mal? Mais ils l’ont quand même écouté de façon courtoise.

• <<Donc, de quelles grandeurs puis-je faire des bracelets? >> a dit le mathématicien distraitement comme s’il était perdu dans des calculs.
• <<Est-ce que les dernières perles du bracelet vont toujours être les mêmes que celles du début ?>>
• <<Combien y a-t-il de différentes combinaisons de perles du début ?>>
• <<Si je commence avec les mêmes deux perles, mais en direction opposée, est-ce que j’obtiens le même bracelet? Est-ce que j’obtiens le même bracelet en direction opposée ?>>
• <<Combien y a-t-il de différents bracelets ?>>

Soudainement, le mathématicien s’est effondré sur la table. Cela avait été une journée bien fatigante. Les pêcheurs de perles se sont regardés. <<Quel étrange homme agaçant! >> ont-ils convenu. Ils ont couché le mathématicien dans un hamac et quand il s’est réveillé, les pêcheurs de perles avaient trouvé toutes les réponses à ses questions.

Exploration:

À chaque jour, le mathématicien demandait d’autres questions agaçantes et à chaque soir les pêcheurs de perles le couchaient dans le hamac et trouvaient les réponses à ses questions quand le matin arrivait. Une fois le mathématicien a demandé cette question:

• Dans la base 12, devinez quel bracelet est le plus long et le plus court parmi ceux qui commencent avec <<22>>, <<33>>, <<44>>,<<55>> and <<66>>?

Pouvez-vous aider les pêcheurs de perles à résoudre ce problème?

Certains élèves ont calculé tous les bracelets possibles à base 10 sans écrire un programme informatique! Montrez que le bracelet qui commence par << 64 >> est le même que celui qui commence par << 88 >>.